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Alguns dos titulos disponíveis:

• Evolucionismo Cultural – Morgan, Tylor e Fraser

•  Aprender Antropologia – François Laplantine

•  O que é Cultura – José Luis dos Santos – Coleção Primeiros Passos

•  Mito e Significado – Claude Lévi-Strauss

 

 

 

 

Egito Antigo e o cálculo

 A civilização egípcia da Antigüidade desfrutou de uma longa estabilidade que preservou uma mesma estrutura social por vários milênios. Situada às margens do Nilo, o território dos Egípcios é cercado por desertos, o que o protegeu contra invasões. Essa longeva estabilidade permitiu um registro de dados astronômicos por milênios, dados esses que foram posteriormente reinterpretados por Ptolomeu no primeiro século de nossa era e, quinze séculos depois, por Nicolau Copérnico. 

 

 

Figura: Movimento das estrelas ao redor do polo norte celeste, um p ponto fixo do céu em qualquer época do ano. Os traços escuros representam o caminho aparente das estrelas no céu devido ao movimento de rotação da Terra.

A geometria egípcia se desenvolveu milênios antes da era cristã. Um fator propulsor desse desenvolvimento era a necessidade, num país agrícola, da demarcação das terras. Cercas ou marcos eram submersos ou apagados anualmente durante a época das cheias, exigindo um método mais abstrato de delimitação. A geometria egípcia estendeu-se no "projeto'' de suas obras de arquitetura. As Grandes Pirâmides, construídas ao redor de 3000 a.C., tinham faces orientadas para os pontos cardeais com precisão de grau. Acredita-se que esta orientação serviria para orientar a longa obra de edificação das pirâmides, oferecendo marcos direcionais duradouros. Podemos salientar nessas obras o amálgama de rigor geométrico associado ao sagrado, traço que se tornará mais explícito entre os gregos, e que foi importante sustentáculo filosófico das ciências exatas. 

 

Figura: Trecho de um rolo de couro egípcio, contendo cálculos. Junto com o papiro Rhind, é um dos raros documentos a respeito da matemática egípcia.

A antigüidade da civilização egípcia a tornou portanto precursora da civilização ocidental de diversos modos. A aritmética dos egípcios, ferramenta mestra para viabilizar a administração de uma vasta região controlada por um governo central, terminou, como veremos adiante, por ser assimilada pela cultura ocidental. Os conhecimentos que dispomos da aritmética egípcia provêm praticamente de um único documento, o papiro Rhind, com 80 problemas de matemática. Este papiro data de 1650 a.C. mas há evidências de que os métodos ali exemplificados seriam muito mais antigos.

Seu sistema de numeração, como o nosso, era decimal, mas não posicional tal qual o romano: existiam símbolos específicos para unidade, dezena, centena etc. As somas e subtrações eram realizadas agrupando-se os símbolos dos dois números correspondentes às mesmas potências de 10, um método próximo ao nosso algoritmo, mas sem uso do zero, uma vez que não era posicional. 

 

 

Figura:  Comparação entre uma adição no sistema decimal egípcio e no  sistema decimal indo-arábico.

A Multiplicação era reduzida a adições (cf. Struik), "tabuadas'' contendo multiplicações elementares. Por exemplo, para calcular usa-se a "tabuada'' do 11 (multiplicado por potências de 2), expressando-se 13 como uma soma de potências de 2, assinaladas com um ``'': 

 

	1	11
	2	22
	4	44
	8	88
Somas	13	143

1. Inicialmente 13 é decomposto em potências de 2:
2. Em seguida, somam-se as parcelas com dados acessíveis em uma tabela: . Uma coleção de tabelas auxiliares de cálculo egípcias funcionavam como ``tabuadas'' no sentido de acelerar os cálculos.

A aritmética egípcia privilegiava o cálculo através de frações, e através delas se faziam as divisões. Esta aritmética de frações era baseada nas frações unitárias, ou seja, com 1 no numerador. Uma fração era indicada graficamente com o número do denominador sobre o qual se colocava um símbolo matemático específico: um ponto ou uma espécie de olho estilizado. As demais frações eram então representadas como somas de frações unitárias, preferência singular desses habitantes do vale do Nilo.

Como foi possível decifrar os hieróglifos e conhecer sua cultura? Como foi possível acompanhar procedimentos tão antigos? Esta decifração é, de fato, relativamente recente. No século XIX, tropas de Napoleão encontraram no Egito uma pedra com caracteres diversos esculpidos - a pedra de Roseta -, que continha gravado um mesmo texto em três alfabetos diferentes. Um deles era composto pelos hieróglifos mais antigos, outro por hieróglifos de uma forma popular tardia (hierático) e o terceiro texto em grego antigo, língua bem conhecida no Ocidente atual. O primeiro passo para a decifração foi a comparação da escrita de nomes próprios presentes nos textos, entre os quais Alexandre, Ptolomeu, Cleópatra...

A escrita egípcia não era exclusivamente fonética. Ela possuía em seus primórdios um caráter pictórico, em que imagens representam idéias simples, podendo ser associadas de modo a originar idéias mais complexas. Assim, um olho com certos traços embaixo significava ``choro'', ao passo que duas pernas significavam ``correr'' e um pássaro podia significar o verbo ``voar''. A região do Alto Egito era representada por uma flor de lis, ao passo que o Baixo Egito era representado por um papiro, plantas características dessas regiões. Em suma, era inicialmente, uma escrita ideográfica posteriormente acrescida de símbolos fonéticos.

 

Figura: Decifração do nome próprio Cleópatra a partir de hieróglifos.

Palavras monossílabas passaram em um período mais tardio a representar os sons a que correspondiam na linguagem falada. Assim o hieróglifo que significava "altura'' (um triângulo) passou a representar o som "K'', por exemplo. No entanto, a despeito de possuir um alfabeto fonético suficientemente completo para representar todas as palavras, os egípcios conservaram muitos dos símbolos ideográficos, além de símbolos especiais para certas sílabas, de modo a reunir uma variedade de uns 500 símbolos diferentes.

Podemos encontrar nesta civilização elementos importantes de nossa própria matemática, em particular seu caráter híbrido, combinando características alfabéticas e ideográficas em uma mesma linguagem. Uma operação aritmética, como a representamos hoje, pode ser considerada um ideograma, no qual a distribuição espacial dos símbolos lhes confere inter-relações específica. O mesmo se pode dizer de símbolos do cálculo integral (derivada ou integral) ou de um operador (o gradiente, por exemplo) atuando em um campo vetorial. Exatamente como no ideograma, as posições relativas de seus elementos traz implícita a atuação de um elemento sobre outro no significado da expressão.

Por ser uma linguagem ideográfica, nossa notação matemática independe do idioma do leitor. O mesmo ocorre com o chinês ideográfico, assimilado no Japão como alfabeto kanji, que é compreensível a um chinês ou japonês eruditos, embora o pronunciem de maneira deversa.

Para entendermos algo da astronomia egípcia, temos de examinar sua cosmogonia, como concebiam a criação do Universo: o mundo teria se formado a partir de uma infinita massa de água. Acredita-se que esta mitologia tenha vindo da Babilônia, que tinha crença semelhante, pois o Egito está próximo do deserto. O rio Nilo, que tem aproximadamente o sentido Norte-Sul seria um afluente de um outro rio maior que corre no sentido Leste-Oeste, fluindo até o reino de Osíris, onde estão os mortos. O rio é materialmente representado pela Via Láctea. Ao longo deste rio a correnteza arrasta um barco que leva o Deus Rá (Sol). O barco é ocasionalmente atacado por uma gigantesca serpente, produzindo os eclipses.

As enchentes anuais do Nilo foram associadas com as cheias do rio celestial, que mudam o trajeto do barco do sol, o qual navega sempre perto das margens do rio celestial. Os céus são vistos como uma réplica ampliada da Terra. A Lua renasce cada mês e é atacada por uma porca, que a faz agonizar lentamente, minguando, para em seguida voltar a nascer crescente. Os planetas também eram vistos como barcas, e a da divindade correspondente a Marte veleja por vezes para trás (este costume de tal divindade corresponde astronomicamente ao movimento retrógrado do planeta Marte em certos períodos).

Ao longo do ano, mudam as constelações visíveis e, na astronomia egípcia, a ``constelação Helíaca'' é a que aparece no céu logo antes do nascer do sol. O céu é primordialmente um preciso calendário regente dos ciclos agrícolas anuais. Por exemplo, o aparecimento de Sírius antes do nascer do sol anunciava a estação das chuvas. Existe uma evidente semelhança entre a divisão do ano em constelações e os signos e ascendentes da astrologia ocidental. O principal compilador da astrologia da Antigüidade para o Ocidente foi Ptolomeu, que viveu no Egito, em Alexandria no século II d.C.. Sua obra ``Tetrabiblos'' contém traços essenciais da atual astrologia Ocidental, parcialmente herdeira da cultura egípcia.

Além da medida do tempo ao longo do ano pelas constelações, os egípcios possuíam um calendário administrativo de 360 dias mais 5 dias sagrados, que se defasava gradualmente do calendário puramente astronômico, medido pela ``constelação helíaca'', e que regia o calendário agrícola de semeaduras, colheitas etc. Os dois calendários se ajustavam periodicamente, para ser exato, a cada anos. Este ciclo, chamado de ano helíaco.

Tal calendário já era usado desde as primeiras inscrições egípcias conhecidas, tendo permanecido em uso até o inÍcio da era cristã. Além da evidente importância dessa longeva continuidade no estabelecimento da cronologia histórica, este calendário contém uma grande massa de dados astronômicos, registrando os ciclos lunares, eclipses e outros eventos astronômicos que deram base à astronomia subseqüente. De maneira indireta, chegaram até Copérnico, 1500 anos depois, para sustentar a teoria heliocêntrica do sistema solar.

Prof. Hugo Franco, Apostila de Evolução dos Conceitos da Física. Publicação IFUSP 1336/98; 2a edição 2002. Disponível em: < Clique aqui > Acesso em: 20 Abr. 2011

Entevista Fábio Cardia

Em breve entrevistaremos e publicaremos aqui uma conversa com o Fábio Cardia a respeito de cálculo, antropologia e cultura. Será muito interessante!!!

Faremos também um podcast desta conversa!

Aguardem! 

( Youtube ) Fabio Cardia - Cartas 

 

 

 

Um pouco do perfil retirado do Blog Ataque Cardia

Quem sou eu

Sou um artista. Um criador. Compositor, publicitário, pesquisador, professor. Visionário, Maluco, Sonhador. Fábio Cardia é... Mestre em comunicação e Semiótica pela PUC/SP, Consultor de Comunicação (AMBEV, VIVO, LIDENTITÁ), professor de "Processos Criativos" e "Criação" na ESPM-SP. Sócio-diretor da empresa PANGEA. Como roteirista, compositor e diretor artístico soma 27 prêmios, entre eles 2 APCA, SHARP e Açorianos, além de ter seu trabalho reconhecido em mais de 10 países (Inglaterra, Bélgica, Alemanha, Estados Unidos, Israel, entre outros). Seus trabalhos e suas pesquisas são citados pelos jornais "The New York Times" e "The Times" como "vanguarda da criação, contemporaneidade em estado de arte".

Um pouco sobre a história do Cálculo

O Nascimento do Cálculo

As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras.

Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada.

A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.

O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou

Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral.

As origens de alguns dos principais conceitos matemáticos aqueles que lidam com números, grandezas e formas remontam às mais antigas civilizações.As tentativas feitas por egípcios, babilônios e gregos de resolver problemas práticos (Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a área alagada e tomada pelo rio a cada ano? Como calcular o volume de um silo de forma cônica? Como dobrar o volume do pedestal da estátua em homenagem ao deus Apolo?) levou-os à resolução de algumas equações, ao cálculo de áreas e volumes de figuras simples como retângulos, trapézios, cones, cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeração.

“O Cálculo” é uma expressão simplificada, adotada pelos matemáticos quando estes se referem à ferramenta matemática usada para analisar, qualitativamente ou quantitativamente, variações que ocorrem em fenômenos que abrigam uma ou mais componentes de natureza essencialmente física. Quando do seu surgimento, no século XVII, o cálculo tinha por objetivo resolver quatro classes principais de problemas científicos.

1.  Determinação da reta tangente a uma curva, em um dado ponto desta.
2. Determinação do comprimento de uma curva, da área de uma região e do volume de um sólido.
3. Determinação dos valores máximo e mínimo de uma quantidade por exemplo, as distâncias máxima e mínima de um corpo celeste a outro, ou qual ângulo de lançamento proporciona alcance máximo a um projétil.
4.  Conhecendo uma fórmula que descreva a distância percorrida por um corpo, em um intervalo qualquer de tempo, determinar a velocidade e a aceleração.
   

   Embora egípcios e babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo inclusive equações quadráticas e sistemas de equações e conhecessem muitos resultados de geometria inclusive o famoso Teorema de Pitágoras, tanto egípcios quanto babilônios resolviam os problemas propostos.
5.  Os resultados obtidos por egípcios e babilônios foram assimilados pelos gregos

   que tiveram o mérito de contribuir para o estabelecimento da matemática da forma como a entendemos hoje.

   Foi na Grécia que surgiu o primeiro livro de Matemática – “Os Elementos de Euclides” - que se constituiu na primeira tentativa de sistematização dos conhecimentos adquiridos até então e na construção de uma teoria matemática baseada em poucos postulados.

    

À matemática empírica de babilônios e egípcios se contrapõe então, à matemática dedutiva da escola grega.

Eram esses os problemas e era esse o estágio de desenvolvimento da matemática desde a Grécia até os séculos XVI e começo do século XVII. As grandes navegações do século XVI, o surgimento da indústria, os interesses do grande comércio que surgia na época, exigiam conhecimentos novos, principalmente os ligados aos movimentos dos corpos e particularmente ao movimento planetário.

Destes problemas ocuparam-se grandes cientistas do século XVII, porém o clímax destes esforços - a invenção (ou descoberta?) do Cálculo - coube a Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.

Após o estabelecimento dos fundamentos do Cálculo, torna-se possível à análise de problemas físicos de real importância, com precisão e rigor jamais experimentados. São estabelecidos os fundamentos da Mecânica dos Sólidos e dos Fluidos e tem início o estudo das Equações Diferenciais e Integrais.

Junior, Nivaldo. O nascimento do cálculo: UFRJ Rio de Janeiro, 2010

O homem que cálculava - Malba Tahan

O Homem que Calculava - Os 35 camelos

Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista.

Encontramos, perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens, que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos.

Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:

- Não pode ser!

- Isto é um roubo!

- Não aceito! 

O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.

- Somos irmãos - esclareceu o mais velho - e recebemos, como herança,

esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo eu receber a

metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte, e ao Harim, o mais moço,

deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos, e, a cada partilha proposta, segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio! Como fazer a partilha se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?

- É muito simples - atalhou o “Homem que Calculava”. - Encarregar-me-ei de

fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte, aos 35 camelos da herança, esse belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe.

Neste ponto, procurei intervir na questão:

- Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a

viagem, se ficássemos sem o nosso camelo?

- Não te preocupes com o resultado, ó “bagdali”! (1) - replicou-me, em voz

baixa, Beremiz. - Sei, muito bem, o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás, no fim, a que conclusão quero chegar.

Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em

entregar-lhe o meu belo jamal, (2) que, imediatamente, foi reunido aos 35 ali

presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.

- Vou, meus amigos - disse ele, dirigindo-se aos três irmãos -, fazer a divisão

justa e exata dos camelos que são agora, como vêem, em número de 36.

E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:

- Deves receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a

metade de 36 e, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste

lucrando com esta divisão!

E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:

- E tu, Hamed Namir, devias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais

receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.

E disse, por fim, ao mais moço:

- E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, devias receber

uma nona parte de 35, isto é, 3 e pouco. Vais receber um nono de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado!

E, numa voz pausada e clara, concluiu:

- Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir - partilha em que todos

os três saíram lucrando - couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4) de 34 camelos. Dos 36 camelos

sobraram, portanto, dois. Um pertence, como sabem ao “bagdali” meu amigo e

companheiro; outro, por direito, a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança!

- Sois inteligente, ó estrangeiro! - confessou, com admiração e respeito, omais velho dos três irmãos. - Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e eqüidade!

E o astucioso Beremiz - o “Homem que Calculava” - tomou logo posse de um

dos mais belos “jamais” do grupo e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:

- Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e

seguro! Tenho outro, especialmente para mim!

E continuamos a nossa jornada para Bagdá.

1 - Bagdali - indivíduo natural de Bagdá.

2 - Jamal - uma das muitas denominações que os árabes dão ao camelo.

 TAHAN, Malba . O homem que calculava. 59.ed.. Rio de Janeiro: Record, 2002. 300p

Os números

Onde e quando a fanática aventura da inteligência do homem começou? Na Ásia, na Europa ou em algum lugar da Africa? Na época do home de Cro-Magnon, há trinta mil anos? Ou no tempo de homem Neandertal, há quase cinquenta milenios? A verdade é que não sabemos com exatidão, e o acontecimento se perde na noite dos tempos préhistóricos, e dele quase nada resta hoje.

No entanto é certo dizer: houve um tempo que o homem não sabia contar. A prova é ainda nos dias de hoje existem aqueles imcapazes de conceber  qualquer número abstrato e que não sabem que dois e dois são quatro. Acredita-se que antes do que chamamos de civilização, entre as tribos existentes haviam apenas duas grandezas numérica: um e dois mas não avançava mais que isso. Diante de estudos, afirma-se que um e dois são os primeiros conceitos numéricos inteligíveis pelo ser humano. O UM é com efeito, o homem ativos, associado a obra da criação; o simbolo do homem em pé, o unico ser vivo dotado dessa capacidade. Quanto ao DOIS, ele corresponde a dualidade do feminino e do masculino.

A invenção dos números deve ter correspondido a preocupação de ordem prática e utilitária.O primeiro prodecimento aritmético deu-se com um procedimento chamado de correspondência um a um  que se refere a possibilidade de comparar com facilidade dias coleções de seres ou de objetos, da mesma natureza ou não, sem ter recorrer a contagem abstrata.

Em alguns grupos indigenas, a contagem de objetos era feita usando parte de seu próprio corpo da seguinte maneira:

Toca-se sucessivamente um por um dos dedos da mão direita a a partir do menor; em seguida o pulso, o cotovelo, o ombro, a orelha e o olho do lado direito; depois toca-se o nariz, a boca, e na sequencia, iniciando a contagem reversa ao lado esquerdo, contato a partir do olho ao dedo mindinho da mão esquerda. Assim alcançando o múmero 22. Se isso não basta, acrescenta-se primeiro os seios, os quadris e a parte genital, depois os joelhos, tornezelos e os dedos dos pés direito e esquerdo. Chegando ao total de 41.

Depois disso em regiões distintas, a tecnica de contagem foi evoluindo, onde eram usados barbantes, onde cada cor significada uma casa numérica diferente (unidade, dezena, centena, milhar...).

Existem resgistros de número primitivos, porém os que são utilizados até hoje, mas com pouca frequencia, são os algarismos romanos, que com o passar do tempo foi melhorado para facilitar o entendimento e proporcionar rapidez em sua leitura e compreensão até chegar no formato que conhecemos hoje.

Os algarismos como conhecemos hoje, possuiem origem hindu. Seus nove primeiros algarismos (os das unidades simples) eram de fato signos independentes, eram distitos e não buscavam evocar visualmente os numeros correpondentes. Assim o algarismo 9 por exemplo, não era mais composto por nove barras ou pontos, e sim por um símbolo específico de representação das unidades.

Por meio de seus dez algarismos de base (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0), nossa numeração escrita atual permite não apenas uma representação simples e perfeitamente racional de qualquer número (por maior que seja) , mas ainda uma prática muito cômoda de todas as operações aritméticas. Assim, do ponto de vista intelectual, este sistema é nitidamente superior a toas as numerações precendentes.

Mas isto não se deve de modo algum a naturezade sua base. Numerações equivalentes poderiam evidentemente ser construidas sobre as bases dois, oito, vinte ou sessenta, com as mesmas vantagens que este sistema decimal. A engenhosidade de nossa numeração moderna provêm na realidade da reunião do principio de posição e do conceito denominado ZERO.

IFRAH, Georges. Os números, a história de uma grande invenção. Ed. Globo. RJ. 1989.

  

Antropologia e Cultura Brasileira

  Este Blog se destina a matéria de Antropologia e Cultura Brasileira, para a curso de Engenharia Elétrica da Universidade Anhembi Morumbi.

Aqui publicaremos nossos trabalhos.